Răspuns:
Ultimul cifra a numarului S este 7
Explicație pas cu pas:
[tex]S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2022}[/tex]
1) Inmultim cu 2 toata expresia si obtinem:
[tex]2S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2023}[/tex] - (fiindca inmultim cu 2, puterile cresc cu o unitate)
2) Scadem cele 2 expresii:
[tex]2S-S=(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2023}) - (1+2+2^2+2^3+...+2^{2022}) = 2^{2023}-1[/tex]
Obtinem acest numar deoarece din 2S si S, toate numerele inafara de 2²⁰²³ si 1 sunt comune, astfel reducandu-se. Poti vizualiza expresia data ca: [tex]2S-S=(2^{2023}-1)+2-2+2^2-2^2+...+2^{2022}-2^{2022}[/tex]
[tex]2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\\\2^5=32\\2^6=64[/tex] Dupa cum vezi, ultima cifra se repeta cu intervale de 4 puteri .
Stiind asta putem deduce logica acestei serii, astfel putem afla ultima cifra (va fi de folos si in informatica, aceasta). Rezolvare:
1) Fiindca o cifra se repeta, la distanta de 4 puteri, putem deduce ca:
1/4=0 rest 1;
2/4=0 rest 2
3/4=0 rest 3
4/4=1 rest 0
5/4=1 rest 1
Dupa cum vezi impartim puterea, cu 4 si obtinem:
Daca rest 1 - ultima cifra 2
Daca rest 2 - ultima cifra 4
Daca rest 3 - ultima cifra 8
Daca rest 0 - ultima cifra 6
1) Folosind cunostintele din punctul 1) aflam:
2023/4= 505 rest 3 (astfel ultima cifra este 8)
Fiindca [tex]S=2^{2023}-1[/tex], va trebui sa scadem: 8-1=7
Raspuns: ultima cifra - 7
