👤
MARIAMATEICRISTIANGO
a fost răspuns

În pătratul ABCD, punctul M este mijlocul laturii AB. Fie AC intersectat cu MD = {N}, iar BD intersectat cu MC = {P} .
a Demonstrați că ∆MNP ~ ∆MDC (că sunt asemenea);
b Demonstrați că DC = 3NP.​

Răspuns :

AB║CD

AM, MB ∈ AB⇒ AM║CD si MB║CD

AM║CD⇒

[tex]\frac{AN}{NC} =\frac{MN}{ND} =\frac{AM}{DC} \ \ (1)[/tex]

MB║CD⇒

[tex]\frac{MP}{PC} =\frac{BP}{PD} =\frac{MB}{DC} \ \ (2)[/tex]

  • Stim ca M mijlocul lui AB, deci AB=CD=2×AM=2×MB

Deci relatia (1) va deveni:

[tex]\frac{AN}{NC} =\frac{MN}{ND} =\frac{AM}{2AM} \ \ (1)\\\\\frac{AN}{NC} =\frac{MN}{ND}=\frac{1}{2}[/tex]

NC=2AN

ND=2MN

AC=AN+NC

AC=AN+2AN=3AN

Analog, relatia 2 va deveni:

[tex]\frac{MP}{PC} =\frac{BP}{PD} =\frac{MB}{2MB} \ \ (2)\\\\\frac{MP}{PC} =\frac{BP}{PD} =\frac{1}{2}[/tex]

PC=2MP

PD=2BP

BD=BP+PD=BP+2BP=3BP

  • Din relatia (1) si (2) reiese faptul ca:

[tex]\frac{MN}{ND} =\frac{MP}{PC}[/tex]⇒  Reciproca T.Thales ⇒ NP║DC⇒ ΔMNP~ΔMDC⇒

[tex]\frac{MN}{MD} =\frac{MP}{MC} =\frac{NP}{DC}[/tex]

  • Stim din relatia (1) si (2) ca 2MN=ND si 2MP=PC

Deci, relatia va deveni:

[tex]\frac{MN}{MN+ND} =\frac{MP}{MP+PC} =\frac{NP}{DC}\\\\\frac{MN}{MN+2MN} =\frac{MP}{MP+2MP} =\frac{NP}{DC}\\\\\frac{MN}{3MN} =\frac{MP}{3MP} =\frac{NP}{DC}\\\\\frac{1}{3} =\frac{NP}{DC}[/tex]

Adica DC=3NP

Vezi imaginea ANDREEAP
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!


Go Studies: Alte intrebari