Răspuns:
a) n = 4
b) n = 7
c) n = 6
d) n = 8
Explicație pas cu pas:
a) n ≥2 (condiție de existență a combinărilor)
[tex]C_{n} ^{2} - n = 2[/tex]
[tex]\frac{n!}{2!(n-2)!} - n = 2[/tex]
[tex]\frac{n(n-1)}{2} - n = 2[/tex]
[tex]\frac{n(n-1) - 2n}{2} = 2[/tex]
n²-n-2n = 4
n² - 3n - 4 = 0
Δ = 9 + 16 = 25
[tex]n_{1} = \frac{3+5}{2} = 4[/tex]
[tex]n_{2} = \frac{3-5}{2} = -1[/tex] - această soluție nu respectă condiția de existență.
Așadar, soluția este n = 4
b) n ≥ 2
[tex]C_{n} ^{2} = 21[/tex]
[tex]\frac{n!}{2!(n-2)!} = 21[/tex]
[tex]\frac{n(n-1)}{2} = 21[/tex]
n² - n - 42 = 0
Δ = 1 + 168 = 169
[tex]n_{1} = \frac{1+13}{2} = 7[/tex]
[tex]n_{2} = \frac{1-13}{2} = -6[/tex] - această soluție nu respectă condiția de existență.
Așadar, soluția este n = 7
c) n-2 > 0 ⇒ n > 2
[tex]C_{n} ^{n-2} = 15[/tex]
[tex]\frac{n!}{(n-2)! *2!} = 15[/tex]
[tex]\frac{n(n-1)}{2} = 15[/tex]
n² - n - 30 = 0
Δ = 1 + 120 = 121
[tex]n_{1} = \frac{1+11}{2} = 6[/tex]
[tex]n_{2} = \frac{1-11}{2} = -5[/tex] - această soluție nu respectă condiția de existență
Așadar, soluția este n = 6
d) n + 1 ≥ 2 ⇒ n ≥ 1
[tex]C_{n+1} ^{2} = 36[/tex]
[tex]\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} = 36[/tex]
[tex]\frac{n(n+1)}{2} = 36[/tex]
n² + n - 72 = 0
Δ = 1 + 288 = 289
[tex]n_{1} = \frac{-1+17}{2} = 8[/tex]
[tex]n_{2} = \frac{-1-17}{2} = -9[/tex] - această soluție nu respectă condiția de existență
Așadar, soluția este n = 8
