Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) O este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral ABC => SABC este piramida triunghiulara regulata => ΔSBC triunghi isoscel
[tex]AM=\frac{l\sqrt{3} }{2}=\frac{8\sqrt{3}* \sqrt{3} }{2} =\frac{24}{2}=12cm[/tex]
[tex]OM=\frac{1}{3}*AM=\frac{12}{3}=4cm[/tex]
in ΔSOM:
[tex]SM^{2}=SO^2+OM^2=64+16=80= > SM=4\sqrt{5}cm[/tex]
[tex]Aria(SBC)=\frac{SM*BC}{2}=\frac{4\sqrt{5}*8\sqrt{3} }{2}=16\sqrt{15}cm^2[/tex]
[tex]Aria(ABC)=\frac{AB^{2} \sqrt{3} }{}=\frac{(8\sqrt{3})^2*\sqrt{3}}{2}=48\sqrt{3}cm^{2}[/tex]
[tex]Aria(SABC)=Aria(ABC)+3*Aria(SBC)=48\sqrt{3}+3*16\sqrt{15}=48\sqrt{3}(1+\sqrt{5})cm^{2}[/tex]
[tex]V=\frac{SO*Aria(ABC)}{3}=\frac{8*48\sqrt{3} }{3}=128\sqrt{3}cm^3[/tex]
b) M este mijlocul lui BC => SM inaltime in ΔSBC => SM⊥BC
AM este mediana si inaltime in ΔABC => AM⊥BC
SO⊥(ABC) => SO⊥AM
=> BC⊥(SAM)
c) prin P - mijlocul lui SO, ducem PR⊥SA
[tex]SP=\frac{SO}{2}=\frac{8}{2}=4cm[/tex]
[tex]AO=\frac{2}{3}*AM=\frac{2*12}{3}= 8cm[/tex]
[tex]SA^2=SO^+OA^2=64+64=128= > SA=8\sqrt{2}cm[/tex]
ΔSRP ≈ ΔSOA =>
[tex]\frac{RP}{OA}=\frac{SP}{SA}= > RP=\frac{8*4}{8\sqrt{2} }=\frac{4}{\sqrt{2} }=2\sqrt{2} < 3 cm[/tex]
d) in piramida triunghiulara regulata, masura unghiului diedru dintre o fata laterala si baza este dat de masura unghiului dintre apotema piramidei si inaltimea din triunghiul bazei
[tex]tan((SAC),(SAM))=tan((SBC),(SAM)[/tex]
[tex]tan(SMA)=tan(SMO )=\frac{DO}{SM}= \frac{8}{4}=2[/tex]
[tex]= > tan((SAC),(SAM))=2[/tex]
