Explicație pas cu pas:
1. Dacă Δ > 0, atunci ecuația atașată lui f are doua rădăcini reale distincte x1<x2, iar semnul lui f este cel al lui a în afara rădăcinilor și semnul lui a intre rădăcini.
2. Dacă Δ = 0, atunci ecuația atașată lui f are două rădăcini reale egale x1 = x2 = -b, iar semnul funcției f este cel al lui a.
3. Dacă Δ < 0, atunci ecuația atașată lui f nu are rădăcini reale, iar semnul funcției f este semnul lui a pe R.
a)
[tex]f(x)= x²-2x-1 \\ Δ = 4 + 4 = 8 > 0\\ x_1 = \frac{2 - 2 \sqrt{2} }{2} = 1 - \sqrt{2} \\ x_2 = \frac{2 + 2 \sqrt{2} }{2} = 1 + \sqrt{2} [/tex]
[tex]f(x) > 0 \: pentru \: - \infty < x < (1 - \sqrt{2}) \\ f(x) < 0 \: pentru \: (1 - \sqrt{2})< x <(1 + \sqrt{2}) \\ f(x) > 0 \: pentru \:(1 + \sqrt{2}) < x < + \infty [/tex]
b)
[tex]f(x)= x²-2x+1 = {(x - 1)}^{2} \\ Δ = 0 = > x = 1[/tex]
[tex]f(x) > 0 \: pentru \: - \infty < x < + \infty [/tex]
c)
[tex]f(x)= 0,5x^{2} -7x = x(\frac{x}{2} - 7) \\ x_1 = 0 \: si \: x_2 = 14[/tex]
[tex]f(x) > 0 \: pentru \: - \infty < x <0 \\ f(x) < 0 \: pentru \: 0< x <14 \\ f(x) > 0 \: pentru \:14 < x < + \infty [/tex]
d)
[tex]f(x)= -0,3x²+x-0,5 = \frac{ {x}^{2} }{10} + x - \frac{1}{2} \\ Δ = 1 - 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{10}{25} > 0\\ x_1 = \frac{ - 1 + \frac{ \sqrt{10} }{5} }{ - \frac{3}{10} } = \frac{2(5 - \sqrt{10} )}{3} \\ x_2 = \frac{ - 1 - \frac{ \sqrt{10} }{5} }{ - \frac{3}{10} } = \frac{2(5 + \sqrt{10} )}{3}[/tex]
[tex]f(x) < 0 \: pentru \: - \infty < x < (\frac{2(5 - \sqrt{10} )}{3}) \\ f(x) > 0 \: pentru \: (\frac{2(5 - \sqrt{10} )}{3})< x <(\frac{2(5 + \sqrt{10} )}{3}) \\ f(x) < 0 \: pentru \:(\frac{2(5 + \sqrt{10} )}{3}) < x < + \infty [/tex]
