👤
a fost răspuns

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compozitie asociativă [tex]$x * y=2 x y-3 x-3 y+6$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$x * y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex]b) Determinati numerele reale [tex]$x$[/tex] pentru care [tex]$x * x=14$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Determinaţi numărul natural [tex]$n$[/tex], ştiind că [tex]$\left(2^{n}+\frac{3}{2}\right) *\left(2^{n+1}+\frac{3}{2}\right) *\left(2^{n+2}+\frac{3}{2}\right)=2^{20}+\frac{3}{2}$.[/tex]

Răspuns :

ANDYILYEGO

Explicație pas cu pas:

legea de compoziție asociativă:

[tex]x * y = 2xy - 3x - 3y + 6[/tex]

a)

[tex]2(x - \frac{3}{2})(y - \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} = 2(xy - \frac{3x}{2} - \frac{3y}{2} + \frac{9}{4})+ \frac{3}{2} = 2xy - 3x - 3y + \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 2xy - 3x - 3y + 6 [/tex]

[tex]=>x * y = 2(x - \frac{3}{2})(y - \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} [/tex]

sau:

[tex]x * y = 2xy - 3x - 3y + 6 = \frac{4xy}{2} - \frac{6x}{2} - \frac{6y}{2} + \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(4xy - 6x - 6y + 9) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(2x(2y - 3) - 3(2y - 3)) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(2x - 3)(2y - 3) + \frac{3}{2} = 2(\frac{2x - 3}{2} )(\frac{2y - 3}{2} ) + \frac{3}{2} = 2(x - \frac{3}{2})(y - \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} [/tex]

[tex]=>x * y = 2(x - \frac{3}{2})(y - \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} [/tex]

b) x = ?, x ∈ R

[tex]x * x = 2x^{2} - 3x - 3x + 6 = 2{x}^{2} - 6x + 6 [/tex]

[tex]2 {x}^{2} - 6x + 6 = 14 \\ 2 {x}^{2} - 6x - 8 = 0 \\ {x}^{2} - 3x - 4 = 0 \\ (x + 1)(x - 4) = 0 \\ = > \\ x = - 1 \\ x = 4[/tex]

c) n = ?, n ∈ N, a.î.:

[tex]( {2}^{n} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 1} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 2} + \frac{3}{2} ) = {2}^{20} + \frac{3}{2} [/tex]

=>

[tex]( {2}^{n} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 1} + \frac{3}{2} ) = 2({2}^{n} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2})({2}^{n + 1} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} = 2 \times {2}^{n} \times {2}^{n + 1} + \frac{3}{2} = {2}^{2n + 2} + \frac{3}{2} [/tex]

legea * este asociativă:

=>

[tex]( {2}^{n} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 1} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 2} + \frac{3}{2} )=(( {2}^{n} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 1} + \frac{3}{2} ))*( {2}^{n + 2} + \frac{3}{2} )= ( {2}^{2n + 2} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 2} + \frac{3}{2} )[/tex]

=>

[tex]( {2}^{2n + 2} + \frac{3}{2} )*( {2}^{n + 2} + \frac{3}{2} ) = 2({2}^{2n + 2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2})({2}^{n + 2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} = 2 \times {2}^{2n + 2} \times {2}^{n + 2} + \frac{3}{2} = {2}^{3n + 5} + \frac{3}{2} [/tex]

[tex]{2}^{3n + 5} + \frac{3}{2} = {2}^{20} + \frac{3}{2} \\ {2}^{3n + 5} = {2}^{20} \\ 3n + 5 = 20 \\ 3n = 15 = > n = 5[/tex]

Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!


Go Studies: Alte intrebari