Răspuns :
[tex]$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2}-a \\ 0 & 1 & 2 a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$[/tex]
a) det(A(1))=1
Mai intai formam matricea A(1), inlocuind pe a cu 1
[tex]A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1& 1^{2}-1 \\ 0 & 1 & 2 \times1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1& 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)[/tex]
Calculam det(A(1)), adaugand primele doua linii
[tex]detA(1)=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1& 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|[/tex]
1 1 0
0 1 2
det(A(1))=(1+0+0)-(0+0+0)=1-0=1
b) A(a)×A(b)=A(a+b)
[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2}-a \\ 0 & 1 & 2 a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\\\\\\A(b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & b & b^{2}-b \\ 0 & 1 & 2 b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)[/tex]
[tex]A(a+b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a+b & (a+b)^{2}-(a+b) \\ 0 & 1 & 2 (a+b) \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)[/tex]
Calculam A(a)×A(b)
[tex]A(a)\times A(b)=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2}-a \\ 0 & 1 & 2 a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}1 & b & b^{2}-b \\ 0 & 1 & 2 b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=[/tex]
[tex]=\left(\begin{array}{ccc}1 & b+a & b^2-b+2ab+a^2-a \\ 0 & 1 & 2b+2a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & b+a & (a+b)^2-(a+b) \\ 0 & 1 & 2(a+b) \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=A(a+b)[/tex]
Nota:
b²-b+2ab+a²-a=a²+2ab+b²-a-b=(a+b)²-(a+b)
2a+2b=2(a+b)
c) Calculam A(3) si A(5), inlocuind pe a cu 3, respectiv 5
[tex]A(3)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\\\\\\A(5)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 20 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)[/tex]
Ne folosim de punctul b, de faptul ca A(a)×A(b)=A(a+b)
Atunci A(3)×A(-3)=A(0)
[tex]A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=I_3[/tex]
Inseamna ca inversa matricei A(3) este A(-3)
A(3)×X=A(5) |×(A-3)
Inmultim ecuatia in stanga cu A(-3) si obtinem:
A(-3)×A(3)×X=A(-3)×A(5)
A(0)×X=A(-3)×A(5)
I₃×X=A(-3)×A(5)
X=A(-3)×A(5)
X=A(-3+5)=A(2)
[tex]X=A(2)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/6640879
#BAC2022
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!