Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{x^{2}+4 x+4}{e^{x}}[/tex]
a)
Folosim formula de derivare a unei fractii:
[tex](\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]f'(x)=(\frac{x^{2}+4 x+4}{e^{x}})'=\frac{(2x+4)e^x-(x^2+4x+4)e^x}{e^{2x}} =\frac{e^x(2x+4-x^2-4x-4)}{e^{2x}} =\frac{-x^2-2x}{e^x} =\frac{-x(x+2)}{e^x}[/tex]
b)
Trebuie sa calculam limita spre +∞ din functia f(x)
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}+4 x+4}{e^{x}}=\frac{\infty}{\infty} \ forma\ nedeterminata[/tex]
Aplicam L'Hospital, derivam numarator, derivam numitor si vom obtine:
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2}+4 x+4)'}{(e^{x})'}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x+4}{e^{x}}=\frac{\infty}{\infty} \ forma\ nedeterminata[/tex]
Aplicam iar L'Hospital si vom obtine:
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+4)'}{(e^{x}})'=\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}}=\frac{2}{\infty} =0[/tex]
Ecuatia asimptotei orizontale este y=0
c)
[tex]g(x)=\frac{\frac{x^2+4x+4}{e^x} }{(x+2)^2} =\frac{\frac{(x+2)^2}{e^x} }{(x+2)^2} =\frac{1}{e^x}\\\\g(x)=\frac{1}{e^x}[/tex]
Calculam g(1)+g(2)+...+g(n)
[tex]g(1)+g(2)+...+g(n)=\frac{1}{e} +\frac{1}{e^2} +...+\frac{1}{e^n}[/tex]
Avem suma unei progresii geometrice care are formula:
[tex]S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}[/tex], unde [tex]b_1=primul\ termen=\frac{1}{e} \\\\r=ratia=\frac{1}{e}[/tex]
[tex]g(1)+g(2)+...+g(n)=\frac{1}{e} \times \frac{(\frac{1}{e})^n-1 }{\frac{1}{e}-1 }[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{e} \times \frac{(\frac{1}{e})^n-1 }{\frac{1}{e}-1 } =-\frac{1}{e}\times \frac{1}{\frac{1-e}{e} } =\frac{1}{e-1}[/tex]
Nota:
[tex](\frac{1}{e} )^n,\ n- > +\infty\\\\(\frac{1}{e} )^\infty=0,\ deoarece\ este fractie\ subunitara[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5855250
#BAC2022
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!