Răspuns :
[tex]f(x)=4 x-\ln \left(x^{2}+1\right)[/tex]
a)
Utilizam formula de derivare (f-g)'=f'-g', iar apoi folosim formulele de derivare din tabelul de derivate compuse (cel atasat)
[tex]f'(x)=(4x)'-(ln(x^2+1))'=4-\frac{(x^2+1)'}{x^2+1} =4-\frac{2x}{x^2+1}[/tex]
Aducem la acelasi numitor comun, amplficam pe 4 cu x²+1 si obtinem:
[tex]f'(x)=\frac{4x^2+4-2x}{x^2+1} =\frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}[/tex]
b)
Mai intai calculam f(x+1)-f(x), apoi calculam limita
[tex]f(x+1)=4(x+1)-ln[(x+1)^2+1]=4x+4-ln(x^2+2x+2)[/tex]
[tex]f(x+1)-f(x)=4x+4-ln(x^2+2x+2)-4x+ln(x^2+1)=4-ln(x^2+2x+2)+ln(x^2+1)=4-ln\frac{x^2+1}{x^2+2x+2}[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} 4-ln\frac{x^2+1}{x^2x+2} =4-ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2+2x+2} )[/tex]
Cand gradele numitorului si al numaratorului sunt egale, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari ale numaratorului, respectiv al numitorului. In cazul nostru, coeficientii sunt 1 si 1, deci raportul este 1
[tex]\lim_{x \to \infty} 4-ln\frac{x^2+1}{x^2x+2} =4-ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2+2x+2} )=4-ln1=4-0=4[/tex]
c)
Ca o functie sa fie bijectiva, trebuie sa fie atat injectiva, cat si surjectiva
O functie strict monotona este injectiva
Vom studia monotonia si continuitatea
[tex]f'(x)=\frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}=0[/tex]
2(2x²-x+2)=0
2x²-x+2=0
Δ=1-16=-15<0
Daca Δ<, atunci vom avea semnul lui a
a=2>0⇒ f este strict crescatoare pe R⇒ f este injectiva
[tex]\lim_{x \to -\infty} 4x-ln(x^2+1)=-\infty-\infty=-(\infty+\infty)=-\infty[/tex] (1)
[tex]\lim_{x \to \infty} 4x-ln(x^2+1)=\infty-\infty\ forma\ nedeterminata[/tex]
[tex]Il\ scriem\ pe \ x=ln(e^x)[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} 4ln(e^x)-ln(x^2+1)= \lim_{x \to \infty} ln(e^4^x)-ln(x^2+1)= \lim_{x \to \infty} ln\frac{e^4^x}{x^2+1}=ln( \lim_{x \to \infty} \frac{e^4^x}{x^2+1})=ln\frac{\infty}{\infty}\ forma\ nedeterminata[/tex]
Aplicam L'Hospital, adica derivam numitorul si numaratorul
[tex]ln( \lim_{x \to \infty} \frac{4e^{4x}}{2x+1} )=\frac{\infty}{\infty}[/tex]
Aplicam L'Hospital
[tex]ln( \lim_{x \to \infty} \frac{16e^{4x}}{2} )=+\infty[/tex] (2)
Din (1) si (2) ⇒ f este surjectiva
f este injectiva si surjectiva⇒ f este bijectiva
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/787599
#BAC2022
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!