Răspuns :
[tex]f(x)=\frac{1-3 \ln x}{x^{4}}[/tex]
[tex]F(x)=\frac{\ln x}{x^{3}}[/tex]
a) F este o primitiva a lui f, inseamna ca F'(x)=f(x)
Vom calcula F'(x) folosind formula [tex](\frac{f}{g}) '=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]F'(x)=(\frac{\ln x}{x^{3}})'=\frac{\frac{1}{x}\times x^3-3x^2\times lnx }{x^6} =\frac{x^2-3x^2\times lnx }{x^6}[/tex]
Dam factor comun la numarator pe x² si simplificam cu numitorul si obtinem:
[tex]F'(x)=\frac{x^2(1-3lnx)}{x^6} =\frac{1-3lnx}{x^4} =f(x)[/tex]⇒F este o primitiva a lui f
b)
Ne folosim de punctul a, F'(x)=f(x)⇒
[tex]\int\limits^e_1 {f(x)} \, dx =F(x)|_1^e=\frac{lnx}{x^3}|_1^e=\frac{lne}{e^3}-\frac{ln1}{1^3}=\frac{1}{e^3}[/tex]
c)
[tex]\int\limits^{e^2}_e {x^2\times \frac{lnx}{x^3} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {\frac{lnx}{x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {lnx\times (lnx)' } \, dx =\frac{1}{2}ln^2x |_e^{e^2}=\frac{1}{2}ln^2e^2-\frac{1}{2} ln^2e =2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Nota:
[tex]\frac{1}{x} =(lnx)'\\\\(ln^2x)'=2lnx\times (lnx)'=\frac{2lnx}{x}[/tex]
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/55614
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!