Răspuns :
[tex]A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y+z=3 \\ 2 x+(a+1) y+a z=3 \\a x+6 y+4 z=a+3\end{array}\right[/tex]
a)
Calculam det(A(a)), adaugand primele doua linii ale determinantului
[tex]det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right|[/tex]
2 2 1
2 a+1 a
det(A(a))=(8a+8+12+2a²)-(a²+a+12a+16)=a²-5a+4=a²-a-4a+4=a(a-1)-4(a-1)=(a-1)(a-4)
b)
Calculam A(4)-A(1)
[tex]A(4)-A(1)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 4 & 6 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 2& 1 \\ 1 & 6 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 3 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex]
Calculam (A(4)-A(1))A(a)
[tex](A(4)-A(1))A(a)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 3 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 6+3a & 3a+21& 3a+12 \\ 6 & 6 & 3\end{array}\right)[/tex]
Calculam A(a)(A(4)-A(1))
[tex]A(a)(A(4)-A(1))=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 3 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3 & 6 & 6 \\ 3a & 3a+3&3a+3 \\ 12 & 18 & 18\end{array}\right)[/tex]
Observam ca cele doua rezultate sunt diferite⇒ nu exista niciun numar real a pentru care cele doua matrice sunt egale
c)
Formam matricea sistemului, o notam cu M
[tex]M=\left(\begin{array}{ccc}2&2&1\\2&a+1&a\\a&6&4\end{array}\right)[/tex]
Vom folosi metoda lui Cramer, calculam detM
[tex]detM=\left|\begin{array}{ccc}2&2&1\\2&a+1&a\\a&6&4\end{array}\right|[/tex]
2 2 1
2 a+1 a
Observam ca matricea M este de fapt matricea A(a)
Deci detM=(a-1)(a-4)
Urmatorul pas este de a calcula x₀, y₀ si z₀
Formam Δx₀, Δy₀ si Δz₀, inlocuind coeficientii lor cu numerele de la egalitate
[tex]\Delta x_0=\left|\begin{array}{ccc}3&2&1\\3&a+1&a\\a+3&6&4\end{array}\right|[/tex]
3 2 1
3 a+1 a
Δx₀=(12a+12+18+2a²+6a)-(a²+4a+3+18a+24)=a²-4a+3=(a-1)(a-3)
[tex]x_0=\frac{\Delta x_0}{detM}=\frac{(a-1)(a-3)}{(a-1)(a-4)}=\frac{a-3}{a-4}[/tex]
[tex]\Delta y_0=\left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\2&3&a\\a&a+3&4\end{array}\right|[/tex]
2 3 1
2 3 a
Δy₀=(24+2a+6+3a²)-(3a+2a²+6a+24)=a²-7a+6=(a-1)(a-6)
[tex]y_0=\frac{\Delta y_0}{detM}=\frac{(a-1)(a-6)}{(a-1)(a-4)}=\frac{a-6}{a-4}[/tex]
[tex]\Delta z_0=\left|\begin{array}{ccc}2&2&3\\2&a+1&3\\a&6&a+3\end{array}\right|[/tex]
2 2 3
2 a+1 3
Δz₀=(2a²+8a+6+36+6a)-(3a²+3a+36+4a+12)=-a²+7a-6=-a²+a+6a-6=-a(a-1)+6(a-1)=(a-1)(6-a)
[tex]z_0=\frac{\Delta z_0}{detM}=\frac{(a-1)(6-a)}{(a-1)(a-4)}=\frac{6-a}{a-4}[/tex]
Stim din cerinta ca x₀, y₀ si z₀ sunt numere intregi
De aici vom avea:
a-4 | a-3
a-4 | a-6
a-4 | 6-a
Le luam pe rand
a-4 | a-3
a-4 | a-4
Le scadem si obtinem
a-4 | 1
a-4={1,-1}
a={5, 3}
a-4 | a-6
a-4 | a-4
Le scadem si obtinem
a-4 | -2
a-4={1,-1,2,-2}
a={5,3, 6, 2}
a-4 | 6-a
a-4 | a-4
Le adunam si obtinem:
a-4 | 2
a-4={1,-1,2,-2}
a={5,3, 6, 2}
Solutia finala a={3,5} (am facut intersectia elementelor, adica ce au in comun)
Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/713615
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!