Răspuns :
[tex]f(x)=e^{x}-x-5[/tex]
a)
Panta tangentei la graficul functiei f in punctul de abscisa x=0 este f'(0)
Calculam f'(x)
f'(x)=eˣ-1
f'(0)=e⁰-1=1-1=0
b)
Pentru a demonstra ca functia este convexa, trebuie sa facem f''(x)
f''(x)=(eˣ-1)'=eˣ
eˣ>0 (functie exponentiala)⇒ f este convexa pe R
c)
eˣ(x-1)≤1
Facem monotonia functiei f
f'(x)=0
eˣ-1=0
eˣ=1
x=0
Tabel semn
x -∞ 0 +∞
f'(x) - - - - - - - 0 + + + + + +
f(x) ↓ f(0) ↑
-4
f(0)=e⁰-0-5=1-5=-4
f este descrescatoare pe (-∞,0) si crescatoare pe (0,+∞)
f(x)≥-4 si f(-x)≥-4
f(-x)=e⁻ˣ+x-5
e⁻ˣ+x-5≥-4
[tex]\frac{1}{e^x} +x-5\geq -4\\\\\frac{1}{e^x}+x\geq 1\\\\ \frac{1+xe^x}{e^x} \geq 1\\\\1+xe^x\geq e^x\\\\1\geq e^x-xe^x\\\\1\geq e^x(1-x)\\\\e^x(1-x)\leq 1[/tex]
Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1063191
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!