Răspuns:
a) nu este posibil
b) [tex]\overline{abc}[/tex] ∈ {107; 119}
Explicație pas cu pas:
Reamintim teorema împărțirii cu rest:
D = Î · C + R sau D - R = Î · C
a)
- Determinăm cifrele a și c:
[tex]\overline{ac}=18[/tex] ⇒ a = 1 și c = 8
- Scriem desfășurat numărul [tex]\overline{abc}[/tex]:
[tex]\overline{abc} = \overline{1b8}=100+ 10b + 8 = 108 + 10b[/tex]
- Verificăm ipoteza [tex]\overline{abc} -5=18 \cdot6[/tex]
108 + 10b - 5 = 108
103 + 10b = 108
10b = 108 - 103 = 5
b = 5 / 10 = 1 / 2 absurd, deoarece b trebuie să fie cifră
⇒ [tex]\overline{ac}\neq 18[/tex]
b)
- Scriem desfășurat numărele [tex]\overline{abc}[/tex] și [tex]\overline{ac}[/tex]:
[tex]\overline{abc} = 100a+ 10b + c\\\overline{ac} = 10a+ c\\[/tex]
- Aplicăm teorema împărțirii cu rest, folosind datele din enunț:
100a + 10b + c - 5 = 6 · (10a + c)
100a + 10b + c - 5 = 60a + 6c
40a + 10b - 5c - 5 = 0 | :5
8a + 2b - c - 1 = 0
2 · (4a + b) = c + 1
- Tragem concluzii cu privire la cifrele a, b, c:
2 · (4a + b) este număr par ⇒ c număr impar
cum c este o cifră ⇒ c ∈ {1; 3; 5; 7; 9}
a și b trebuie să fie cifre, cu a ≥ 1 ⇒ 4a ≥ 4 ⇒ 4a + b ≥ 4
⇒ 2 · (4a + b) ≥ 8
⇒ c ≥ 7
c = 7 ⇒ 2 · (4a + b) = 8 ⇒ 4a + b = 4 ⇒ a = 1 și b = 0 ⇒ [tex]\overline{abc} = 107[/tex]
c = 9 ⇒ 2 · (4a + b) = 10 ⇒ 4a + b = 5 ⇒ a = 1 și b = 1 ⇒ [tex]\overline{abc} = 119[/tex]
107 - 5 = 17 · 6 ⇔ 102 = 102 adevărat
119 - 5 = 19 · 6 ⇔ 114 = 114 adevărat
