👤

Pe mulțimea [tex]$G=(0,+\infty)$[/tex] se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru [tex]$x * y=\sqrt[3]{x^{\log _{2} y}}$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătați că [tex]$2 * 64=4$[/tex].

5 p b) Arătați că legea de compoziție,,*" este comutativă.

[tex]$5 p$[/tex] c) Determinați [tex]$x \in G$[/tex] care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție,, *".


Răspuns :

[tex]x * y=\sqrt[3]{x^{\log _{2} y}}[/tex]

a)

Inlocuim pe x cu 2 si pe y cu 64

[tex]2*64=\sqrt[3]{2^{log_264}} =\sqrt[3]{2^6}=2^2=4[/tex]

b)

Lege comutativa:

x*y=y*x

[tex]\sqrt[3]{x^{\log _{2} y}}=\sqrt[3]{y^{log_2x}}[/tex]

Egalam ce este sub radical

[tex]x^{log_2y}=y^{log_2x}[/tex]

Il scriem pe x ca fiind [tex]2^{log_2x}[/tex] si pe y ca fiind [tex]2^{log_2y}[/tex]

[tex](2^{log_2x})^{log_2y}=(2^{log_2y})^{log_2x}\\\\2^{(log_2xlog_2y)}=2^{(log_2ylog_2x)}\ Adevarat[/tex]

c)

Calculam elementul neutru:

x*e=x

[tex]\sqrt[3]{x^{\log _{2} e}}=x[/tex]     ridicam la puterea a treia

[tex]x^{log_2e}=x^3[/tex]

[tex]log_2e=3\\\\e=2^3\\\\e=8[/tex]

Calculam elementul simetric

x*x'=e

[tex]\sqrt[3]{x^{\log _{2} x'}}=8[/tex]     ridicam la puterea a treia

[tex]x^{log_2x'}=8^3[/tex]    Logaritmam in baza 2

[tex]log_2(x^{log_2x'})=log_2(8^3)\\\\log_2x'\cdot log_2x=log_28^3[/tex]

In cerinta ne spune ca simetricele sunt egale, deci x=x'

[tex](log_2x)^2=log_28^3\\\\(log_2x)^2=3log_28\\\\(log_2x)^2=3\cdot 3\\\\(log_2x)^2=9\\\\(log_2x)^2=3^2\\\\log_2x=3\\\\x=8\\\\sau\\\\log_2x=-3\\\\x=2^{-3}=\frac{1}{8}[/tex]

Mai multe detalii depre comutatitivitate gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4881427

#BAC2022