[tex]f(x)=\frac{e^{x}+x}{e^{x}}[/tex]
a)
Vezi tabel de derivate in atasament
[tex]f'(x)=\frac{(e^x+1)e^x-e^x(e^x+x)}{e^{2x}} =\frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}-xe^x}{e^{2x}} =\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}[/tex]
b)
Daca doua drepte sunt paralele atunci pantele sunt egale
Panta tangentei f'(1)=0
Asimptota spre +∞
[tex]\lim_{x +\to \infty} \frac{e^x+x}{e^x} = \lim_{x +\to \infty} 1+\frac{x}{e^x}\[/tex]
Aplicam L'Hopital
(derivam numarator, derivam numitor)
[tex]\lim_{x +\to \infty} 1+\frac{1}{e^x} =1+0=1[/tex]
Dreapta de ecuatie y=1 este asimptota orizontala spre +∞
panta=0
Cum pantele sunt egale, atunci dreptele sunt paralele
c)
[tex]g(x)=f''(x)=\frac{-e^x-e^x(1-x)}{e^{2x}} =\frac{-1-1+x}{e^x} =\frac{x-2}{e^x}=(x-2)e^{-x}[/tex]
[tex]g(x)=\frac{x-2}{e^x}\\\\g'(x)=\frac{e^x-(x-2)e^x}{e^{2x}}=\frac{3-x}{e^x} \\\\g'(x)+g(x)=\frac{3-x}{e^x} +\frac{x-2}{e^x}=\frac{1}{e^x}[/tex]
Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9882194
#BAC2022
#SPJ4
