👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] a) Arătaţi că [tex]$\int_{-1}^{1} f(x) \cdot\left(x^{2}+1\right) d x=0$[/tex].

5p b) Calculați [tex]$\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{x} f(x) d x$[/tex]

[tex]$5 p$[/tex] c) Determinaţi [tex]$a \in(0,+\infty)$[/tex] pentru care [tex]$\int_{0}^{a}(f(x)-f(-x)) d x=\ln (2 a)$[/tex].

Răspuns :

[tex]f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}[/tex]

a)

Vezi tabel de integrale in atasament

[tex]\int\limits^1_{-1} {\frac{x}{x^2+1} \cdot (x^2+1)} \, dx =\int\limits^1_{-1} x\ dx=\frac{x^2}{2}|_{-1}^1=\frac{1}{2} -\frac{1}{2}=0[/tex]

b)

[tex]\int\limits^1_0 {(x^2+1)e^x\frac{x}{x^2+1} } \, dx =\int\limits^1_0xe^x\ dx[/tex]

O integram prin parti

[tex]f=x\ \ \ \ \ \ f'=1\\\\g'=e^x\ \ \ \ g=e^x[/tex]

[tex]\int\limits^1_0xe^x\ dx=xe^x|_0^1-\int\limits^1_0e^x\ dx=e-e^x|_0^1=e-e+e^0=1[/tex]

c)

[tex]\int\limits^a _0\frac{x}{x^2+1}-\frac{-x}{x^2+1} \ dx=\int\limits^a_0\frac{2x}{x^2+1}\ dx[/tex]

Daca numitorul derivat ne da numaratorul, atunci limita este egala cu ln(numitor)

(x²+1)'=2x

[tex]\int\limits^a_0\frac{2x}{x^2+1} =ln(x^2+1)|_0^a=ln(a^2+1)-ln1=ln(a^2+1)[/tex]

[tex]ln(a^2+1)=ln2a\\\\a^2-2a+1=0\\\\(a-1)^2=0\\\\a-1=0[/tex]

a=1

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9835836

#BAC2022

#SPJ4

Vezi imaginea ANDREEAP
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!


Go Studies: Alte intrebari