Răspuns :
Ortocentru se afla la intersectia inaltimilor
Fie MP ║ BC, A∈MP
MB∩PC={N}
ΔABC~ΔBAM~ΔCPA~ΔNCB
ΔABC≡ΔBAM (U.L.U)
∡BAC≡∡ABM
AB latura comuna
∡ABC≡∡ABM
Analog, ΔABC≡ΔBAM≡ΔCPA≡ΔNCB⇒ ΔMNP isoscel
AD inaltimea ΔABC, A este mijlocul lui MP ⇒AD mediatoarea lui MP
Analog, inaltimea din C a triunghiului ABC este mediatoarea lui PN (CN=CP)
si inaltimea din B a triunghiului ABC este mediatoarea lui MN (MB=BN)
Stim ca mediatoarele unui triunghi sunt concurente
Dar mediatoarele sunt si intaltimile triunghiului ABC⇒ inaltimile unui triunghi sunt concurente
Dreapta lui Euler si Cercul lui Euler
Fie ΔABC si H-ortocentru, G-centru de greutate, O-centrul cercului circumscris
Din egalitatea lui Leibniz avem:
[tex]\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}[/tex]
Dar [tex]\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}[/tex] (relatia lui Sylvester)
Din cele doua egalitati avem [tex]3\vec{OG}=\vec{OH}[/tex]⇒
[tex]\vec{OG}\ si\ \vec{OH}\ sunt\ coliniari[/tex]⇒ O, G si H sunt coliniare
Inegalitatea lui Ptolemeu si teorema
Fie ΔADE~ΔABC ⇒
[tex]\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} =\frac{DE}{BC} \\\\ DE=\frac{AD\cdot BC}{AB} \ \ (1)[/tex]
si ΔEAC~ΔDAB⇒
[tex]\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{DB} \\\\ CE=\frac{AC\cdot DB}{AB}\ \ (2)[/tex]
Caz 1:
Daca E∉CD (ABCD nu este inscriptibil)
In ΔECD avem EC<CD+ED
Din 1 si 2 vom avea:
[tex]\frac{AC\cdot DB}{AB} < CD+ \frac{AD\cdot BC}{AB}[/tex]
Aducem la acelasi numitor comun AB si il eliminam, obtinem:
AC·BD<AB·CD+AD·BC
Caz 2:
Daca E∈CD (ABCD este inscriptibil)
EC=ED+DC
Din 1 si 2 vom avea:
[tex]\frac{AC\cdot DB}{AB} =CD+ \frac{AD\cdot BC}{AB}[/tex]
Aducem la acelasi numitor comun AB si il eliminam, obtinem:
AC·BD=AB·CD+AD·BC
Un exercitiu cu ortocentru gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2519520
#SPJ1
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!