Răspuns:
a = 3 sau a = -5
Explicație pas cu pas:
A(0,1), B(-1,2) si C(2,a)
[tex]Aria_{(ABC)} = \frac{h \times AB}{2} \\ [/tex]
[tex]h = \frac{2 \times Aria_{(ABC)}}{AB} = \frac{2 \times 2}{AB} \\ = > h = \frac{4}{AB} \\ [/tex]
unde h este înălțimea triunghiului ABC = distanța de la punctul C la dreapta AB
→ lungimea segmentului AB:
[tex]AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} } \\ = \sqrt{ {( - 1 - 0)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} [/tex]
→ ecuația dreptei AB:
[tex]A(x_{A}; y_{A}), B(x_{B}; y_{B})[/tex]
[tex]\frac{y - y_{B}}{y_{A} - y_{B}} = \frac{x - x_{B}}{x_{A} - x_{B}} \\ [/tex]
[tex]\frac{y - 2}{1 - 2} = \frac{x - ( - 1)}{0 - ( - 1)} < = > \frac{y - 2}{ - 1} = \frac{x + 1}{1} \\ y - 2 = - x - 1 = > x + y - 1 = 0[/tex]
→ distanța de la un punct la o dreaptă:
[tex]d_{1}: ax + by + c = 0 \\[/tex]
[tex]h = \frac{ |ax_{C} + by_{C} + c| }{ \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}} \\ = \frac{ |1\times 2 + 1 \times a + c( - 1)| }{ \sqrt{{1}^{2} + {1}^{2}}} = \frac{ |2 + a - 1| }{ \sqrt{2} } \\ = > h = \frac{ |1 + a| }{ \sqrt{2} } [/tex]
→
[tex]h = \frac{4}{AB} < = > \frac{ |1 + a| }{ \sqrt{2} } = \frac{4}{ \sqrt{2} } \\ = > |1 + a| = 4[/tex]
[tex]1 + a = 4 = > a = 3[/tex]
[tex]1 + a = - 4 = > a = -5[/tex]
