[tex]f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}[/tex]
a)
Vezi tabelul de derivate din atasament
[tex]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }-\frac{1}{2\sqrt{x} } =\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x+1} } -\frac{1}{\sqrt{x} } )[/tex]
b)
[tex]f'(1)+f'(2)+...+f'(n)=\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{1} }+\frac{1}{\sqrt{3} } -\frac{1}{\sqrt{2} } +...+\frac{1}{\sqrt{n+1} } -\frac{1}{\sqrt{n} } )[/tex]
Observam ca se reduc termenii si ne ramane:
[tex]f'(1)+f'(2)+...+f'(n)=\frac{1}{2}( \frac{1}{\sqrt{n+1} } -1)=\frac{1}{2\sqrt{n+1} } -\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\lim_{n \to +\infty} (\frac{3}{2}+\frac{1}{2\sqrt{n+1} }-\frac{1}{2})^{\sqrt{n} }= \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{2\sqrt{n+1} })^{\sqrt{n} }= \lim_{n \to +\infty} [(1+\frac{1}{2\sqrt{n+1} })^{2\sqrt{n+1}}]^{\frac{\sqrt{n} }{2\sqrt{n+1} }}=\\\\ =e^{ \lim_{n \to+ \infty} \frac{\sqrt{n} }{2\sqrt{n+1} }}=e^\frac{1}{2}[/tex]
Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mare
c)
O functie este bijectiva daca este injectiva si surjectiva
Facem monotonia functiei f
[tex]\sqrt{x+1} > \sqrt{x} \\\\\frac{1}{\sqrt{x+1} } < \frac{1}{\sqrt{x} }[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt{x+1} } -\frac{1}{\sqrt{x} } < 0\\\\f'(x) < 0[/tex]
f este strict descrescatoare pe (0,+∞) f este injectiva
[tex]\lim_{x \to 0}f(x)=1-0=1\\\\ \lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty}\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} }= \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} } =0[/tex]
Am facut conjugata (am amplificat cu opusul)
f este monotona si continua pe (0,+∞)⇒ f este surjectiva
Deci f este bijectiva
Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919124
#BAC2022
#SPJ4
