Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = - 2 {x}^{3} + 3 {x}^{2} = {x}^{2}(3 - 2x) \\[/tex]
intersecția cu axa Ox:
[tex]y = 0 = > f(x) = 0 = > {x}^{2}(3 - 2x) = 0 \\ x = 0 = > \left( 0;0\right)\\ x = \frac{3}{2} = > \left( \frac{3}{2} ;0\right)[/tex]
intersecția cu axa Oy:
[tex]x = 0 = > f(0) = 0 = > \left(0 ;0\right)[/tex]
prima derivată:
[tex]f'(x) = (- 2 {x}^{3} + 3 {x}^{2})' = - 6 {x}^{2} + 6x = 6x(1 - x) \\ [/tex]
punctele critice:
[tex]f'(x) = 0 => 6x(1 - x) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1[/tex]
punct de minim:
[tex]f(0) = 0 = > \left(0 ;0\right)[/tex]
punct de maxim:
[tex]f(1) = - 2 + 3 = 1 = > \left(1 ;1\right)[/tex]
monotonia:
f(x) este descrescătoare pentru x ∈ (-∞; 0)
f(x) este crescătoare pentru x ∈ (0; 1)
f(x) este descrescătoare pentru x ∈ (1; +∞)
a doua derivată:
[tex]f''(x) = (- 6 {x}^{2} + 6x)' = - 12x + 6 = 6(1 - 2x) \\ [/tex]
→
[tex]f''(x) = 0 = > 6(1 - 2x) = 0 = > x = \frac{1}{2} \\ [/tex]
punct de inflexiune:
[tex]f\left(\frac{1}{2}\right) = {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\left(3 - 2 \times \frac{1}{2}\right) \\ = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} = > \left( \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right) \\[/tex]
→
[tex]f(x) \: convexa: \: - \infty < x < \frac{1}{2} \\ f(x) \: concava: \: \frac{1}{2} < x < + \infty [/tex]
