Explicație pas cu pas:
a)
[tex]f : \left(0 ;+ \infty \right)\rightarrow \mathbb{R}[/tex]
[tex]f(x) = 2x - ln(x)[/tex]
[tex]\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(2x - ln(x) \right) = 0 - ( - \infty ) = + \infty \\ [/tex]
→ asimptotă verticală: x = 0
→ prima derivată:
[tex]f^{\prime}(x) = \left( 2x - ln(x)\right)^{\prime} = \left( 2x\right)^{\prime} - \left(ln(x)\right)^{\prime} \\ = 2 - \frac{1}{x} \\ [/tex]
[tex]f^{\prime}(x) = 0 = > 2 - \frac{1}{x} = 0 <=> \frac{1}{x} = 2 = > x = \frac{1}{2} \\ [/tex]
[tex]f \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{1}{2} - ln\left( \frac{1}{2} \right) = 1 + ln(2) \\ [/tex]
→ punct de minim:
[tex]\left( \frac{1}{2};1 + ln(2)\right) \\ [/tex]
→ intervale de monotonie:
[tex]f(x) \: descrescătoare:0 < x < \frac{1}{2} \\ [/tex]
[tex]f(x) \: crescătoare: \frac{1}{2} < x < + \infty \\ [/tex]
→
[tex]1 + ln(2) \leqslant f(x) < + \infty [/tex]
→ a doua derivată:
[tex]f''(x) = \left( 2 - \frac{1}{x}\right)^{\prime} = \frac{1}{ {x}^{2} } \\ [/tex]
→
[tex]f''(x) \geqslant 0[/tex]
→ f(x) este convexă
