Răspuns :
[tex]A(a)=\left(\begin{array}{cc}1 & a^{2} \\ a^{2} & 1\end{array}\right)[/tex]
1)
Calculam det(A(0)), inlocuim pe a cu 0 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor
det(A(0))=1×1-(0×0)=1
2)
det(A(a))=0
1-a⁴=0
(1-a²)(1+a²)=0
1-a²=0
a²=1
a=1, a fiind numar real pozitiv
1+a²=0
a²=-1, nu se poate
3)
[tex]A(1)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2 \\2 & 2\end{array}\right)\\\\A(1)\cdot A(1)-2A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 2 \\2 & 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 2 \\2 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\0 & 0\end{array}\right)=O_2[/tex]
4)
[tex]A(\sqrt{2} )\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& 2 \\2 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& a^2 \\a^2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3a^2 \\3a^2 & 3\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}1+2a^2& a^2+2 \\2+a^2 & 2a^2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3a^2 \\3a^2 & 3\end{array}\right)\\\\[/tex]
1+2a²=3
2a²=2
a²=1
a=1
5)
det(A(a)-A(0))≤0
[tex]A(a)-A(0)=\left(\begin{array}{cc}1 & a^{2} \\ a^{2} & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & a^{2} \\ a^{2} & 0\end{array}\right)\\\\\left|\begin{array}{cc}0 & a^{2} \\ a^{2} & 0\end{array}\right|=-a^4\leq 0[/tex]
6)
[tex]A(\sqrt{a} )\cdot A(\sqrt{b}) =\left(\begin{array}{cc}1 & a \\ a & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & b\\ b& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+ab & b+a \\ a +b&ab+ 1\end{array}\right)\\\\[/tex]
[tex]A(2)+A(\frac{1}{2} )=\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 4 & 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& \frac{1}{4}+4 \\\frac{1}{4}+4 & 2\end{array}\right)[/tex]
Egalam termenii si obtinem:
[tex]1+ab=2\\\\ab=1\\\\a+b=\frac{1}{4}+4 =\frac{17}{4}[/tex]
[tex]a=\frac{1}{b} \ inlocuim\ in\ a\ doua\ relatie[/tex]
[tex]\frac{1}{b} +b=\frac{17}{4}\ aducem\ la\ acelasi\ numitor\ comun\\\\ 4+4b^2=17b\\\\4b^2-17b+4=0\\\\\Delta=289-64=225\\\\b_1=\frac{17+15}{8}=4\\\\ a=\frac{1}{4} \\\\b_2=\frac{17-15}{8} =\frac{1}{4}\\\\ a=4[/tex]
Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928500
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!