Răspuns :
[tex]A(a)=\left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)[/tex]
1)
Calculam det(A(0)), inlocuim pe a cu 0 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor
det(A(0))=0-2=-2
2)
det(A(a))=0
a(a+1)-2=0
a²+a-2=0
Δ=1+8=9
[tex]a_1=\frac{-1+3}{2} =1\\\\a_2=\frac{-1-3}{2}=-2[/tex]
3)
[tex]A(a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a & 2 \\ 1 & a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+2 & 4a+2 \\ 2a+1 & a^2+2a+3\end{array}\right)\\\\\left(\begin{array}{cc}2a^2+a & 4a+2 \\ 2a+1 & 2a^2+3a+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}a^2+2 & 4a+2 \\ 2a+1 & a^2+2a+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+a-2 & 0 \\ 0 & a^2+a-2\end{array}\right)=(a^2+a-2)I_2[/tex]
4)
[tex]A(5a-1)+A(5a+1)=\left(\begin{array}{cc}5a-1 & 2 \\ 1 & 5a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5a+1 & 2 \\ 1 & 5a+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10a & 4 \\ 2 & 2(5a+1)\end{array}\right)=2A(5a)[/tex]
5)
det(A(a)-I₂)<0
[tex]\left|\begin{array}{cc}a-1 & 2 \\ 1 & a\end{array}\right|=a(a-1)-2\\\\a(a-1)-2 < 0\\\\a^2-a-2 < 0\\\\\Delta=1+8=9\\\\a_1=\frac{1+3}{2} =2\\\\a_2=\frac{1-3}{2} =-1[/tex]
Tabel semn
a -∞ -1 2 +∞
a²-a-2 + + + + + 0 - - - 0 + + + + +
a∈(-1,2)
6)
[tex]det(A(n))=\left|\begin{array}{cc}n & 2 \\ 1 & n+1\end{array}\right|=n(n+1)-2[/tex]
n(n+1) este un numar par, fiind produs de doua numere consecutive
n(n+1)-2 este numar par, fiind diferenta de doua numere pare
Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928505
#BAC2022
#SPJ4
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!