Explicație pas cu pas:
[tex]y = - 3 {x}^{2} + 4x + 7[/tex]
a)
[tex]y = mx + 1[/tex]
[tex](S)\left \{ {{y = - 3 {x}^{2} + 4x + 7} \atop {y = mx + 1}} \right. \\ [/tex]
Dacă dreapta de ecuație y = mx + 1 intersectează parabola în două puncte distincte, sistemul (S) are două soluții distincte (dreapta este secantă parabolei)
[tex]- 3 {x}^{2} + 4x + 7 = mx + 1 \\ 3 {x}^{2} + mx - 4x + 1 - 7 = 0 \\ 3 {x}^{2} + x(m - 4) - 6 = 0 \\ [/tex]
→ condiția este: Δ > 0
[tex]{(m - 4)}^{2} - 4 \times 3( - 6) > 0 \\ {(m - 4)}^{2} + 72 > 0[/tex]
=> orice m ∈ R
b)
[tex]y = - 8x + n[/tex]
[tex](S)\left \{ {{y = - 3 {x}^{2} + 4x + 7} \atop {y = - 8x + n}} \right. \\ [/tex]
Dacă dreapta de ecuație y = -8x + n intersectează parabola într-un singur punct, sistemul (S) are o singură soluție (dreapta este tangentă parabolei)
[tex]- 3 {x}^{2} + 4x + 7 = - 8x + n \\ 3 {x}^{2} - 8x - 4x + n - 7 = 0 \\ 3 {x}^{2} - 12x + n - 7 = 0[/tex]
→ condiția este: Δ = 0
[tex]{( - 12)}^{2} - 4 \times 3(n - 7) = 0 \\ 144 - 12n + 84 = 0 \\ 12n = 228 = > n = 19[/tex]
