Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = \frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} \\[/tex]
a) asimptotă verticală:
[tex]\lim _{\left \{ {{x \rightarrow - 1} \atop {x < - 1}} \right.}\left(f(x) \right) = \lim _{\left \{ {{x \rightarrow - 1} \atop {x < - 1}} \right.}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} \right) \\ = \lim _{\left \{ {{x \rightarrow - 1} \atop {x < - 1}} \right.}\left(({x}^{2} + 3)\cdot \frac{1}{x + 1} \right) = 4\cdot (- \infty) = - \infty[/tex]
→ dreapta x = -1 este asimptotă verticală la stânga
[tex]\lim _{\left \{ {{x \rightarrow - 1} \atop {x > - 1}} \right.}\left(f(x) \right) = \lim _{\left \{ {{x \rightarrow - 1} \atop {x > - 1}} \right.}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} \right) \\ = \lim _{\left \{ {{x \rightarrow - 1} \atop {x > - 1}} \right.}\left(({x}^{2} + 3)\cdot \frac{1}{x + 1} \right) = 4\cdot (+ \infty) = + \infty[/tex]
→ dreapta x = -1 este asimptotă verticală la dreapta
⇒ dreapta x = -1 este asimptotă verticală
• asimptotă orizontală:
[tex]\lim _{x \rightarrow - \infty }\left(f(x) \right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} \right) \\ = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left( \frac{x + \frac{3}{x} }{1 + \frac{1}{x} } \right) = \frac{ - \infty }{1} = - \infty[/tex]
nu există asimptotă orizontală spre -∞
[tex]\lim _{x \rightarrow + \infty }\left(f(x) \right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} \right) \\ = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{x + \frac{3}{x} }{1 + \frac{1}{x} } \right) = \frac{ + \infty }{1} = + \infty[/tex]
nu există asimptotă orizontală spre +∞
• asimptotă oblică:
[tex]\lim _{x \rightarrow - \infty }\left( \frac{f(x)}{x} \right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x(x + 1)} \right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{ {x}^{2} + x)} \right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left( \frac{1 + \frac{3}{ {x}^{2} } }{1 + \frac{1}{x} } \right) = \frac{1}{1} = 1[/tex]
[tex]\lim _{x \rightarrow - \infty }\left(f(x) - 1\cdot x\right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} - x\right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3 - {x}^{2} - x}{x + 1} \right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left(\frac{3 - x}{x + 1} \right) = \lim _{x \rightarrow - \infty}\left( \frac{ - 1 + \frac{3}{x} }{1 + \frac{1}{x} } \right) = \frac{- 1}{1} = - 1[/tex]
→ dreapta y = x - 1 este asimptotă oblică spre -∞
[tex]\lim _{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{f(x)}{x} \right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x(x + 1)} \right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{ {x}^{2} + x)} \right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{1 + \frac{3}{ {x}^{2} } }{1 + \frac{1}{x} } \right) = \frac{1}{1} = 1[/tex]
[tex]\lim _{x \rightarrow + \infty }\left(f(x) - 1\cdot x\right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} - x\right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{ {x}^{2} + 3 - {x}^{2} - x}{x + 1} \right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left(\frac{3 - x}{x + 1} \right) = \lim _{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{ - 1 + \frac{3}{x} }{1 + \frac{1}{x} } \right) = \frac{- 1}{1} = - 1[/tex]
→ dreapta y = x - 1 este asimptotă oblică spre +∞
⇒ dreapta y = x - 1 este asimptotă oblică
b) derivata funcției:
[tex]\left(f(x) \right)^{\prime} = \left(\frac{ {x}^{2} + 3}{x + 1} \right)^{\prime} \\ = \frac{\left({x}^{2} + 3 \right)^{\prime}(x + 1) - ({x}^{2} + 3)(x + 1)^{\prime}}{ {(x + 1)}^{2} } \\ = \frac{2x(x + 1) - ({x}^{2} + 3)}{ {(x + 1)}^{2} } = \frac{2 {x}^{2} + 2x - {x}^{2} - 3}{ {(x + 1)}^{2}} \\ = \frac{{x}^{2} + 2x - 3}{ {(x + 1)}^{2}} = \frac{(x + 3)(x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} [/tex]
c) intervale de monotonie:
[tex]\left(f(x) \right)^{\prime} = 0 < = > \frac{(x + 3)(x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \\ [/tex]
[tex]x + 3 = 0 = > x = - 3[/tex]
[tex]f( - 3) = - 6 = > punct \: de \: maxim \: \left( - 3 ; - 6 \right) \\[/tex]
→
[tex]x - 1 = 0 = > x = 1[/tex]
[tex]f(1) = 2 = > punct \: de \: minim \: \left(1 ; 2\right) \\[/tex]
→ f(x) este crescătoare pe intervalul:
x ∈ (-∞; -3)
→ f(x) este descrescătoare pe intervalul:
x ∈ (-3; -1)
→ f(x) este descrescătoare pe intervalul:
x ∈ (-1; 1)
→ f(x) este crescătoare pe intervalul:
x ∈ (1; ∞)
