Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = x + \left( {x}^{2} + 1 \right) {e}^{x} [/tex]
a) prima derivată:
[tex]f'(x) = \left(x + ({x}^{2} + 1 \right) {e}^{x} )' = x' + \left(({x}^{2} + 1 \right) {e}^{x} )' \\ = 1 + \left({x}^{2} + 1 \right)' {e}^{x} + \left({e}^{x} \right)' ({x}^{2} + 1) \\ = 1 + 2x{e}^{x} + ({x}^{2} + 1){e}^{x} = {e}^{x}(x + 1)^{2} + 1[/tex]
[tex]f'(x) > 0[/tex]
=> f(x) este crescătoare pe R
b) limita:
[tex]f(0) = 0 + (0 + 1)e^{0} = 1[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x) - 1}{x} \\ = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left(f(x) -1\right)'}{x'} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left(f(x)\right)' - 1'}{1} \\ = \lim_{x\rightarrow 0}\left( {e}^{x} {(x + 1)}^{2} + 1 \right) = 1 + 1 = 2[/tex]
c) intervale de concavitate și convexitate:
derivata a doua
[tex]f''(x) = \left(f'(x)\right)' = \left({e}^{x} {(x + 1)}^{2} + 1 \right)' \\ = \left({e}^{x} {(x + 1)}^{2} \right)' + 1' = \left({e}^{x} \right)'{(x + 1)}^{2} + \left( {(x + 1)}^{2} \right)' {e}^{x} \\ = {e}^{x}{(x + 1)}^{2} + 2(x + 1) {e}^{x} = (x + 1)(x + 3) {e}^{x}[/tex]
[tex]f''(x) = 0 => (x + 1)(x + 3){e}^{x} = 0[/tex]
.
[tex]x + 1 = 0 => x = -1[/tex]
[tex]f(-1) = 2{e}^{-x} - 1= > \left(-1 ; 2{e}^{-x} - 1\right) \\ [/tex]
.
[tex]x + 3 = 0 => x = -3[/tex]
[tex]f(-3) = 10{e}^{-3x} - 3 => \left(-3 ; 10{e}^{-3x} - 3\right) \\ [/tex]
=>
[tex] - \infty < x < - 3 = > f(x) \: convexa[/tex]
[tex] - 3 < x < - 1 = > f(x) \: concava[/tex]
[tex]- 1 < x + \infty = > f(x) \: convexa[/tex]
