Explicație pas cu pas:
Arătați că numărul 189ⁿ este suma a trei pătrate perfecte nenule, oricare ar fi numărul natural nenul n.
----
studiem două cazuri: n par și n impar
n = 2k + 1
[tex]189 = {2}^{2} + {8}^{2} + {11}^{2} [/tex]
sau
[tex]189 = {5}^{2} + {8}^{2} + {10}^{2} [/tex]
=>
[tex]{189}^{2k + 1} = 189\cdot{189}^{2k} \\ [/tex]
[tex]= ({5}^{2} + {8}^{2} + {10}^{2})\cdot {189}^{2k} \\[/tex]
[tex]= {5}^{2}\cdot {189}^{2k} + {8}^{2}\cdot {189}^{2k} + {10}^{2}\cdot {189}^{2k} \\[/tex]
[tex]= (5\cdot {189}^{k} )^{2} + (8\cdot{189}^{k})^{2} + (10\cdot{189}^{k})^{2} \\ [/tex]
n = 2k
[tex]{189}^{2} = {4}^{2} + {19}^{2} + {188}^{2}[/tex]
sau
[tex]{189}^{2} = {6}^{2} + {66}^{2} + {177}^{2}[/tex]
sau
[tex]{189}^{2} = {( {3}^{3} \cdot 7)}^{2} = {3}^{6} \cdot {7}^{2} = {3}^{4} \cdot {21}^{2} \\ = ( {8}^{2} + {4}^{2} + {1}^{2} )\cdot {21}^{2} = {(8\cdot 21)}^{2} + {(4\cdot 21)}^{2} + {21}^{2}[/tex]
=>
[tex]{189}^{2k} = {189}^{2} \cdot {189}^{2k - 2} \\ [/tex]
[tex]= \left[{(8\cdot 21)}^{2} + {(4\cdot 21)}^{2} + {21}^{2} \right] \cdot {189}^{2(k - 1)} \\ [/tex]
[tex]= {\left(168 \cdot {189}^{k - 1} \right)}^{2} + {\left(84 \cdot {189}^{k - 1} \right)}^{2} + {\left(21 \cdot {189}^{k - 1} \right)}^{2} \\ [/tex]
q.e.d.
