a) [tex]2^n > 2n + 1 \text{ } \forall n \geq 3[/tex]
[tex]n = 3: \text{ } 2^{3} > 2 \cdot 3 + 1 < = > 8 > 7 (\text{Adevarat})[/tex]
Presupunem ca inegalitatea are loc pentru un oarecare k - natural mai mare sau egal cu 3. [tex]2^{k} > 2k + 1[/tex]
Inmultind ambele parti ale inegalitatii cu 2 obtinem:
[tex]2 \cdot 2^{k} > 2 \cdot (2k + 1)\\2^{k+1} > 4k + 2[/tex]
[tex]4k + 2 = 2(2k) + 2 > 2(k+1) + 1[/tex]
[tex]2^{k+1} > 4k + 2 > 2(k+1) + 1\\2^{k+1} > 2(k+1) + 1[/tex]
Deci k+1 satisface inegalitatea si conform principiului inductiei matematice inegalitatea este satisfacuta pentru oricare numar natural n >= 3.
