10. Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor segmentului, adica daca M e mijlocul lui AB, atunci M va avea coordonatele:
[tex]x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1-3}{2}=-1\\y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+4}{2}=5[/tex]
deci raspunsul corect este d) (-1, 5)
11. OA=OB (raze in acelasi cerc), deci triunghiul OAB este isoscel.
Inseamna ca inaltimea din O este si mediana, adica perpendiculara pe AB trece prin mijlocul lui AB. Poti nota mijlocul cu D si folosind teorema lui Pitagora vei obtine:
OD²=OA²-AD²=10²-6²=100-36=64
Deci OD=8, adica raspunsul corect este d).
12. a) Folosesti teorema lui Pitagora si obtii:
BC²=AB²+AC²=9²+12²=81+144=225
[tex]P_{ABC}=AB+AC+BC=9+12+15=36[/tex]
b) [tex]AC=AM+MC=\frac{MC}{2}+MC=\frac{3}{2}MC[/tex]
Dar [tex]AC=12\implies \frac{3}{2}MC=12\implies MC=\frac{12\times 2}{3}=8[/tex]
Triunghiurile BAC si MNC sunt amandoua dreptunghice si au unghiul C comun, deci sunt asemenea. Inseamna ca
[tex]\frac{BA}{MN}=\frac{BC}{MC}=\frac{AC}{NC}[/tex]
Cunoastem BA, BC si MC, deci:
[tex]\frac{9}{MN}=\frac{15}{8}\implies MN=\frac{9\times 8}{15}=\frac{72}{15}[/tex]
Dar [tex]5=\frac{5\times 15}{15}=\frac{75}{15}[/tex].
Deci MN<5.
