Răspuns:
Înainte de a fi derivabilă în x=0, funcția trebuie să fie continuă în 0.
[tex]\displaystyle\lim_{x\nearrow 0}f(x)=\lim_{x\nearrow 0}(\alpha\sin x+\beta)=\beta\\\lim_{x\searrow 0}f(x)=\lim_{x\searrow 0}\cos x=1\\f(0)=\beta[/tex]
Rezultă [tex]\beta=1[/tex].
Funcția este derivabilă pe [tex]\mathbb{R}^*[/tex] și
[tex]f'(x)=\begin{cases}\alpha\cos x}, & x < 0\\-\sin x, & x > 0\end{cases}[/tex]
Derivatele laterale în 0 trebuie să fie egale
[tex]f'_s(0)=\displaystyle\lim_{x \nearrow 0}\alpha\cos x}=\alpha\\f'_d(0)=\lim_{x\searrow 0}(-\sin x)=0[/tex]
Rezultă [tex]\alpha=0[/tex]
Explicație pas cu pas:
