Răspuns:
Fie [tex]\displaystyle\frac{ax+b}{x^2+1}=y\Rightarrow yx^2-ax+y-b=0, \ x\in\mathbb{R}[/tex]
Rezultă că [tex]\Delta\ge 0\Rightarrow -4y^2+4by+a^2\ge 0[/tex]
Fie [tex]\Delta_y=16b^2+16a^2=16(a^2+b^2)\ge 0[/tex]
[tex]y_1=\displaystyle\frac{-4b-4\sqrt{a^2+b^2}}{-8}=\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\y_2=\frac{b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}[/tex]
Atunci
[tex]Im(f)=\left[\displaystyle\frac{b-\sqrt{a^2+b^2}}{2},\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right][/tex]
Rezultă
[tex]\displaystyle\begin{cases}\frac{b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}=-3\\\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}=1\end{cases}[/tex]
Adunând relațiile se obține [tex]b=-2[/tex]. Înlocuind pe b într-o relație se obține [tex]a^2=12\Rightarrow a=\pm 2\sqrt{3}[/tex]. Deci mulțimea perechilor este
[tex]\left\{(-2\sqrt{3},-2), \ (2\sqrt{3},-2)\right\}[/tex]
Explicație pas cu pas:
