Răspuns:
k = 10
Explicație pas cu pas:
[tex]A_{0}A_{1} = 1 cm[/tex]
[tex]A_{1}A_{2} = 2 \cdot A_{0}A_{1} = 2 = 2^{1}[/tex]
[tex]A_{2}A_{3} = 2 \cdot A_{1}A_{2} = 2^{2}[/tex]
...
[tex]A_{k-1}A_{k} = 2 \cdot A_{k-2}A_{k-1} = 2^{k - 1}[/tex]
[tex]A_{k}A_{k+1} = 2 \cdot A_{k-1}A_{k} = 2^{k}[/tex]
=>
[tex]A_{0}A_{k} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + A_{2}A_{3} + ... + A_{k-1}A_{k} = \\ = 1 + 2^{1} + 2^{2} + ... + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1[/tex]
a)
[tex]A_{0}A_{k} \: \: este \: \: numar \: \: impar[/tex]
=> nu există k astfel încât segmentul
[tex]A_{0}A_{k} = 2018[/tex]
b)
[tex]A_{0}A_{k} = 2019[/tex]
[tex]2^{k} - 1 = 2019 \implies 2^{k} = 2020[/tex]
[tex]1024 = {2}^{10} < 2020 < {2}^{11} = 2048 \\ {2}^{10} < {2}^{k} < {2}^{11} \implies \bf 10 < k < 11[/tex]
=> valoarea minimă a lui k: k = 10
