Răspuns:
fracția este reductibilă
Explicație pas cu pas:
a)
[tex]\frac{{2}^{4 \cdot n + 2} + 1 } {{6}^{n } - 1 } \\ [/tex]
la numărător:
[tex]u({2}^{4 \cdot n + 2} + 1) = u({2}^{4 \cdot n + 2}) + u(1) = u({2}^{4 \cdot n}\cdot {2}^{2}) + u(1) = u( {2}^{2} ) + u(1) = 4 + 1 \\ [/tex]
[tex]\implies \: {2}^{4 \cdot n + 2} + 1 \ \vdots \ 5[/tex]
la numitor:
[tex]({6}^{n } - 1) \ \vdots \ (6 - 1) = 5 \implies ({6}^{n } - 1) \ \vdots \ 5 \\ [/tex]
[tex]\implies \frac{{2}^{4 \cdot n + 2} + 1 } {{6}^{n } - 1 } \bf \ \vdots \ 5\\[/tex]
=> fracția este reductibilă
b)
[tex]\frac{{3}^{4 \cdot n + 2} - 9 }{{8}^{4 \cdot n + 2} + 1} \\ [/tex]
la numărător:
[tex]u({3}^{4 \cdot n + 2} - 9) = u({3}^{4 \cdot n + 2}) - u(9) = u({3}^{4 \cdot n} \cdot {3}^{2} ) - u(9) = u({3}^{2}) - u(9) = u(9) - u(9) = 9 - 9 = 0 \ \vdots \ 5 \\ [/tex]
[tex]\implies {3}^{4 \cdot n + 2} - 9 \: \ \vdots \ 5[/tex]
la numitor:
[tex]u({8}^{4 \cdot n + 2} + 1) = u({8}^{4 \cdot n + 2}) + u(1) = u({8}^{4 \cdot n}\cdot {8}^{2}) + u(1) = u({8}^{2}) + u(1) = u(64) + u(1) = 4 + 1 = 5 \ \vdots \ 5 \\ [/tex]
[tex]\implies {8}^{4 \cdot n + 2} + 1 \: \ \vdots \ 5[/tex]
[tex]\implies \frac{{3}^{4 \cdot n + 2} - 9 }{{8}^{4 \cdot n + 2} + 1} \bf \ \vdots \ 5\\ [/tex]
=> fracția este reductibilă
c)
[tex]\frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2013} \\ [/tex]
la numărător: într-un produs de trei numere naturale consecutive, unul dintre ele este divizibil cu 3 => produsul a trei numere consecutive este divizibil cu 3
la numitor: 2013 = 3×671
[tex] \implies \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2013} \bf \ \vdots \ 3 \\ [/tex]
=> fracția este reductibilă
