Răspuns:
Se demonstrează prin inducție.
Fie propoziția
[tex]P(n): \ 2^{2n+1}\cdot 25^n+7 \ \vdots \ 9, \ \forall n\in\mathbb{N}[/tex]
Verificăm pentru n = 0:
[tex]P(0): 2\cdot 1+7=9 \ \vdots \ 9[/tex]
Presupunem P(k) adevărată și demonstrăm P(k+1):
[tex]2^{2n+3}\cdot 25^{n+1}+7 \ \vdots \ 9[/tex]
[tex]2^{2n+3}\cdot 25^{n+1}=4\cdot 2^{2n+1}\cdot 25\cdot 25^n}=100\cdot 2^{2n+1}\cdot 25^n+7=\\=(2^{2n+1}\cdot 25^n+7)+99\cdot 2^{2n+1}\cdot 25^n=9k+9m=9p \ \vdots \ 9[/tex]
Deci și P(k+1) este adevărată, deci P(n) este adevărată pentru orice n natural.
Explicație pas cu pas:
