👤
a fost răspuns

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziţie asociativă şi cu element neutru [tex]$x * y=x y-101 x-101 y+10302$[/tex].

5p a) Arătaţi că [tex]$x * y=(x-101)(y-101)+101$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Determinaţi numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea ,,*".

[tex]$5 p$[/tex] c) Determinaţi numerele întregi [tex]$x$[/tex] şi [tex]$y$[/tex], cu [tex]$x\ \textless \ y$[/tex], pentru care [tex]$x * y=202$[/tex].

Răspuns :

RED12DOG34GO

Răspuns:

a) [tex]x*y=x(y-101)-101(y-101)+101=(x-101)(y-101)+101[/tex]

b) Fie e elementul neutru.

[tex]x*e=e*x=x, \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow (x-101)(e-101)+101=x\Rightarrow\\\Rightarrow (x-101)(e-102)=0, \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow e=102[/tex]

Fie [tex]x'[/tex] simetricul lui [tex]x[/tex]

[tex]x*x'=x'*x=e\Rightarrow (x-101)(x'-101)+101=102\Rightarrow(x-101)(x'-101)=1\Rightarrow\\\Rightarrow x'-101=\displaystyle\frac{1}{x-101}\Rightarrow x'=\frac{1}{x-101}+101, \ \forall x\in\mathbb{R}-\{101\}[/tex]

[tex]x=x'\Rightarrow x=\displaystyle\frac{1}{x-101}+101\Rightarrow(x-101)^2=1\Rightarrow x_1=101, \ x_2=100[/tex]

c) [tex](x-101)(y-101)+101=202\Rightarrow (x-101)(y-101)=101[/tex]

101 este număr prim, deci avem cazurile:

[tex]x-101=1, \ y-101=101\Rightarrow x=102, y=202[/tex]

[tex]x-101=-101, \ y-101=-1\Rightarrow x=0, y=100[/tex]

Explicație pas cu pas:

Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!


Go Studies: Alte intrebari