👤
a fost răspuns

Se consideră funcţia [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5 x-3, & x \in(-\infty, 1) \\ x^{2}-x+\sqrt{x^{2}+3}, & x \in[1,+\infty)\end{array}\right.$[/tex].

5p a) Arătaţi că funcția [tex]$f$[/tex] este continuă pe [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] b) Arătaţi că, pentru orice număr real [tex]$a, a\ \textgreater \ 1$[/tex], tangenta la graficul funcției [tex]$f$[/tex] în punctul [tex]$A(a, f(a))$[/tex] nu este paralelă cu axa [tex]$O x$[/tex].

[tex]$5 \mathbf{p}$[/tex] c) Demonstraţi că funcția [tex]$f$[/tex] este convexă pe [tex]$(1,+\infty)$[/tex].

Răspuns :

RED12DOG34GO

Răspuns:

a) Limitele laterale în 1 și valoarea funcției în 1 sunt toate egale cu 2, deci funcția este continuă în 1.

b) Pentru [tex]x > 1[/tex] derivata funcției este

[tex]f'(x)=2x-1+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{(2x-1)\sqrt{x^2+3}+x}{\sqrt{x^2+3}} > 0, \ \forall x > 1[/tex]

Deci [tex]f'(a)\ne 0, \ \forall a > 1[/tex]. Rezultă că tangenta în punctul [tex]A(a,f(a))[/tex] la graficul funcției nu este paralelă cu Ox.

c) [tex]f''(x)=2+\displaystyle\frac{2x^2+3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}} > 0, \ \forall x > 1[/tex], deci f este convexă pe [tex](1,\infty)[/tex].

Explicație pas cu pas:

Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Ne vedem curând și nu uitați să ne adăugați la marcaje!


Go Studies: Alte intrebari