Răspuns:
a) Aplicăm inegalitatea mediilor pentru numerele ab, bc, ca.
[tex]ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\displaystyle\frac{1}{ab+bc+ca}\le\frac{1}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}[/tex]
Înmulțim cu [tex]3abc[/tex].
[tex]\displaystyle\frac{3abc}{ab+bc+ca}\le\sqrt[3]{abc}[/tex]
Logaritmăm pe rând inegalitatea în bazele a, b, c. Inegalitatea se schimbă deoarece bazele sunt subunitare.
[tex]\log_a{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{3}\log_a{abc}[/tex]
[tex]\log_b{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{3}\log_b{abc}[/tex]
[tex]\log_c{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{3}\log_c{abc}[/tex] (1)
Adunăm inegalitățile
[tex]\log_a{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}+\log_b{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}+\log_c{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge \frac{1}{3}\left(\log_a(abc)+\log_a(abc)+\log_c(abc)\right)[/tex]
Membrul drept se mai scrie, folosind proprietățile logaritmilor
[tex]\displaystyle\frac{1}{3}\left( 3+\log_ab+\log_ba+\log_ac+\log_ca+\log_bc+\log_cb\right)\ge\frac{1}{3}(3+2+2+2)=3[/tex]
și prin tranzitivitate rezultă inegalitatea.
Am folosit că [tex]\log_ab+\log_ba=\log_ab+\displaystyle\frac{1}{\log_ab}\ge 2[/tex] (inegalitatea mediilor)
b) Relațiile (1) le înmulțim membru cu membru
[tex]\log_a{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\cdot\log_b{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\cdot\log_c{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{27}\log_a(abc)\log_b(abc)\log_c(abc)=[/tex]
[tex]=\displaystyle\frac{1}{27}\cdot\frac{1}{\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c}[/tex] (2)
Dar
[tex]1=\log_{abc}(abc)=\log_{abc}a+\log_{abc}b+\log_{abc}c\ge\sqrt[3]{\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c}[/tex]
Ridicând ambii membri la a treia rezultă
[tex]1\ge 27\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c}\ge 27[/tex]
Revenind la inegalitatea (2), se obține inegalitatea din enunț.
Explicație pas cu pas:
