Răspuns:
172
Explicație pas cu pas:
[tex](2+4+6+ .... 84) *(\frac{2}{7*9} + \frac{2}{9*11} + \frac{2}{11*13} + ...... + \frac{2}{19*21)}[/tex]
Analizăm puțin adunările din paranteza a doua:
[tex]\frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{9-7}{7*9} = \frac{2}{7*9}[/tex]
[tex]\frac{1}{9} - \frac{1}{11} = \frac{11-9}{9*11} = \frac{2}{9*11}[/tex]
.........................................
În același fel se observă că: [tex]\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}[/tex]
Folosind această formulă, vom scrie termenii din paranteza a doua ca diferențe.
[tex]= 2(1+2+3+....42) * (\frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + .... + \frac{1}{19} - \frac{1}{21} )[/tex]
Prima paranteză reprezintă o sumă Gauss.
Termenii din paranteza a doua se reduc doi câte doi, cu excepția primului și a ultimului termen.
[tex]= 2*\frac{42*43}{2} (\frac{1}{7} - \frac{1}{21} )[/tex]
[tex]= 42*43*\frac{3-1}{21}[/tex]
[tex]= \frac{42*43*2}{21}[/tex]
= 2*43*2
= 172
