Explicație pas cu pas:
Formula lui Gauss pentru sume de numere impare (suma începe cu numărul 1):
[tex]1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n}^{2} [/tex]
demonstrație:
la fiecare termen, adăugăm 1 și scădem 1:
[tex](1 + 1 - 1) + (3 + 1 - 1) + (5 + 1 - 1) + ... + [(2n - 1) + 1 - 1] = \\ [/tex]
[tex]= (2 + 4 + 6 + ... + 2n) - \underbrace{(1 + 1 + 1 + ... + 1)}_{n} \\ [/tex]
[tex]= 2 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + n) - n [/tex]
[tex]= 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} - n \\ [/tex]
[tex]= n(n + 1) - n = {n}^{2} + n - n[/tex]
[tex]= {n}^{2}[/tex]
