[tex]f(x)=\frac{2}{3} x \sqrt{x}-x[/tex]
a)
Vezi tabelul de derivate din atasament
[tex]f'(x)=(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} }-x)'=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1=\sqrt{x} -1[/tex]
b)
Ecuatia tangentei in x=1
y-f(1)=f'(1)(x-1)
[tex]f(1)=\frac{2}{3} -1=-\frac{1}{3}[/tex]
f'(1)=0
Ecuatia tangentei in x=1:
[tex]y+\frac{1}{3} =0\\\\y=-\frac{1}{3}[/tex]
c)
Monotonia functiei f
f'(x)=0
x=1
Tabel semn
x 0 1 +∞
f'(x) - - - - - 0 + + + + +
f(x) ↓ f(1) ↑
f este crescatoare pe [1,+∞) si descrescatoare pe (0,1]
f(x)≥f(1)
[tex]\frac{2}{3} x \sqrt{x}-x\geq -\frac{1}{3} \ \ |\cdot 3\\\\2x\sqrt{x} -3x\geq -1\\\\x(2\sqrt{x} -3)\geq -1[/tex]
Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9882325
#BAC2022
#SPJ4
